曳物線

幾何微積分

參數方程

牽引者沿 X 軸前進，以長度 L 的繩子拉動物體，軌跡為曳物線（Tractrix）：

x=L(t−tanh⁡t),y=L sech t=2Let+e−tx = L\left(t - \tanh t\right),\quad y = L\,\text{sech}\,t = \frac{2L}{e^t + e^{-t}}

t > 0 為參數；牽引點在 (Lt,0)(Lt, 0)。性質：曲線上任意點到 X 軸的切線段長度恒為 L。

實作要點

  • 數學 / 相機 / 渲染解耦：參數方程在數學層；Bounding Box 相機自動取景；鏡像 Y 得對稱雙軌
  • 幾何快取：Ghost 軌跡僅在 L 或 max t 平滑變更時重建
  • 牽引生長：pulling = ½(1 - cos ωt) 驅動動態 t，軌跡由起點向前展開
  • 定長拉繩：物體與牽引點間繩段即時繪製，呈現定長約束

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