單位圓上的等距與平方

題意

在複數平面上，第一象限的複數 $z$ 位於單位圓。另有固定點

題目給定 $w$ 到 $z$ 與 $z^3$ 的距離相同，要求 $z=a+bi$ 的實部與虛部。 完整數值與作答格式見 大考中心 111 分科測驗數學甲試卷。

為什麼會錯

大考中心的試題特色分析 記錄本題得分率為 $16\%$。容易卡住的地方，是看到 $z^3$ 就急著做大量代數展開， 忽略複數絕對值就是複數平面上的距離。把等距改畫成弦的中垂線後，三次方只剩幅角的 三倍關係。

觀念

因為 $|z|=|z^3|=1$，原點到 $z$ 與 $z^3$ 的距離也相同。因此原點與 $w$ 都在弦 $z{z}^3$ 的中垂線上。

令 $z$ 的幅角為 $\theta$。由棣美弗定理，$z^3$ 的幅角為 $3\theta$；弦中點的方向是 $2\theta$，也就是 $z^2$ 的方向。又因 $z$ 在第一象限、$w$ 在第二象限，方向不會取到 相反側，所以

設 $z=a+bi$，比較實部、虛部並使用 $a^2+b^2=1$：

前後兩式相加可得 $a^2=\frac{1}{5}$，再得 $b^2=\frac{4}{5}$。因為 $z$ 在第一象限，

互動怎麼看

• 拖動「幅角 $\theta$」，觀察 $z^3$ 在單位圓上以三倍幅角移動，弦與中垂線同步改變。
• 比較固定點 $w$ 到 $z$、$z^3$ 的金色與藍色線段；右欄會顯示目前的距離差。
• 按下「回到原題解答位置」，確認 $w=z^2$ 時兩段距離相等。