兩條割線

參數方程

單位圓。點 $P=(p,0)$ 在圓外，$p$ 從 $1.35$ 到 $2.4$。水平那條線穿過圓心，交圓於 $A=(1,0)$、$B=(-1,0)$。它是一條割線；定理不依賴它剛好是直徑，穿過圓心只是把這兩個交點釘住。

另一條線從 $P$ 往左上方偏。偏角 $\theta$ 從負 $x$ 軸往上量，最小 $8^{\circ }$，最大是 $\arcsin (0.92/p)$。$0.92$ 是裕度：直線離圓心的距離停在這裡，不到半徑 $1$，兩個交點在變成同一個切點之前就分開。$p=2.4$ 時這個上限約 $22.5^{\circ }$，預設 $18^{\circ }$ 仍放得下。近端 $C$ 是離 $P$ 較近的交點，遠端 $D$ 是較遠的那個，兩邊不會對調。從點到近端是圓外的一段，從點到遠端是整條割線，不是圓內的弦。水平線上的 $A$、$B$ 也一樣。

點只取在圓外，長度都是無向長。水平的圓外段乘上整條割線是 $|PA|\cdot |PB|=(p-1)(p+1)$，斜線是 $|PC|\cdot |PD|$。兩邊都先用交點座標量出未捨入的長度，再相乘；畫面旁的兩個讀數不把恆等式直接填進去。這個乘積等於 $p^2-1$，也就是 $|OP{|}^2-r^2$。顯示到小數第三位，四捨五入。$p=1.35$ 時 $p^2-1=0.8225$，顯示 $0.823$。

互動說明

• 位置 $p$：移動圓外的點，圓外段、整條割線與兩個乘積一起改變
• 偏角：移動第二條線的夾角，近端與遠端的長度改變

觀察重點

• 每條割線的圓外段乘上整條割線，乘積相同。
• 偏角變大時交點靠近，乘積仍是這個數。
• 這個數只隨點的位置變。

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延伸閱讀

• 圓冪定理（維基百科）