面積相同，旋轉體體積相同嗎

題意

在 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$ 時，函數

在 $[-1,1]$ 上不小於 $0$，而且它與 $x$ 軸所圍的面積都等於 $2$。把這塊區域繞 $x$ 軸旋轉後，題目要判斷體積是否仍都相等；若不相等，還要找最大值。完整題組見 大考中心 114 分科測驗數學甲試卷。

為什麼會錯

最容易誤判的是「面積相同，所以體積也相同」。面積累加的是高度 $f(x)$，圓盤體積累加的卻是 半徑平方 $\pi f(x{)}^2$；把同樣的面積移到離旋轉軸更遠的位置，體積就會放大。 大考中心的評分原則 也把「列對圓盤積分、算出含 $a$ 的體積、在範圍內找最大值」分成三個必要步驟。

觀念

厚度為 $dx$ 的小圓盤，半徑近似 $f(x)$，體積近似

全部圓盤相加並取極限，就是

體積會隨 $a^2$ 改變，所以不會都相等。在 $-\frac{1}{2}\le a\le 1$ 中，$a^2$ 的最大值在 $a=1$，因此

互動怎麼看

• 改變 $a$，比較面積固定時，函數高度分布如何改變旋轉體的粗細。
• 金色截線代表圓盤邊界；增加切片數 $n$，中點黎曼和會逐漸靠近精確體積。
• 重播掃掠，從平面函數看到它繞 $x$ 軸形成線框旋轉體。